ریاضی نهم صفحه 86 - فعالیت 1
۱ـ حاصل عبارت زیر را با دو روش ارائه شده انجام دهید و آنها را کامل کنید.
روش اول : $$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c) = $$
روش دوم : $$((a+b)+c)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + \dots$$
به کمک نتیجه این فعالیت، حاصل عبارت زیر را به دست آورید.
$$(a+b-c)^2 = $$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 86 - فعالیت 1
در این فعالیت می‌خواهیم **اتحاد مربع سه جمله‌ای** را یاد بگیریم.
**روش اول (ضرب مستقیم):**
در این روش هر جمله پرانتز اول را در تمام جملات پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:
$$(a+b+c)(a+b+c) = a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2$$
با جمع جملات متشابه داریم:
$$\mathbf{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}$$
**روش دوم (استفاده از اتحاد مربع دو جمله‌ای):**
در اینجا دو جمله اول را به عنوان یک بسته در نظر می‌گیریم:
$$((a+b)+c)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$$
حالا $$(a+b)^2$$ را باز می‌کنیم:
$$a^2+2ab+b^2 + 2ac+2bc + c^2 = \mathbf{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}$$
**محاسبه $$(a+b-c)^2$$:**
طبق الگوی بالا، مربع هر جمله را می‌نویسیم و سپس دو برابر ضرب دو به دو جملات را با رعایت علامت اضافه می‌کنیم:
$$\mathbf{a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc}$$
دقت کنید چون $$c$$ منفی است، جملاتی که شامل $$c$$ هستند منفی می‌شوند.
ریاضی نهم صفحه 86 - فعالیت 2
۲ـ با استفاده از ضرب عبارت‌های جبری، حاصل عبارت زیر را به دست آورید.
$$(a+b)(a-b) = $$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 86 - فعالیت 2
بیایید با هم **اتحاد مزدوج** را از طریق ضرب ساده اثبات کنیم.
برای این کار، هر جمله پرانتز اول را در تمام جملات پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:
$$(a+b)(a-b) = a(a) + a(-b) + b(a) + b(-b)$$
$$= a^2 - ab + ba - b^2$$
چون در ضرب خاصیت جابجایی داریم، $$ab$$ و $$ba$$ با هم برابرند. پس $$-ab$$ و $$+ba$$ همدیگر را خنثی کرده و صفر می‌شوند.
حاصل نهایی برابر است با:
$$\mathbf{a^2 - b^2}$$
این برابری به ما کمک می‌کند تا ضرب‌های سخت را سریع‌تر انجام دهیم.
